Связь комбинаторики с различными разделами математики - диплом по педагогике
Не нашли нужный чертёж? Тогда просто закажите его у нас!
Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов называется комбинаторикой. Комбинаторика возникла в XVI веке. Вопросы, касающиеся азартных игр, явились движущей силой в развитии комбинаторики. Сейчас комбинаторные методы применяются как в самой математике, так и вне её – теория кодирования, планирование эксперимента, топология, конечная алгебра, математическая логика, теория игр, кристаллография, биология, статистическая физика, экономика и т.д.
338 23

Связь комбинаторики с различными разделами математики - диплом по педагогике

98.00 RUB

392.00 RUB

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов называется комбинаторикой. Комбинаторика возникла в XVI веке. Вопросы, касающиеся азартных игр, явились движущей силой в развитии комбинаторики. Сейчас комбинаторные методы применяются как в самой математике, так и вне её – теория кодирования, планирование эксперимента, топология, конечная алгебра, математическая логика, теория игр, кристаллография, биология, статистическая физика, экономика и т.д.

Если у вас есть промокод, то воспользуйтесь им.
На указанный E-mail адрес вы получите ссылку для авторизации.

Пусть G – группа перестановок на множестве М={1, 2, …, n}. Подмножество ОМ называется орбитой группы G, если: а) α(a)O для любого αG и любого aOто есть действие перестановок из G на элементы О не выводит за пределы О; б) любые два элемента из О можно перевести друг в друга некоторой перестановкой из G.

Легко показать, что всякая группа перестановок G={ε=α0α1, …, αk-1} имеет орбиты.

Орбитами подобного вида исчерпываются все типы орбит, то есть, если О – орбита группы G и аО, то О=О(а).

 Любые две орбиты О(а) и О(b) либо совпадают (если bO(a)), либо не пересекаются (если bO(a)).

Таким образом, множество М распадается в объединение непересекающихся подмножеств – орбит группы GВ связи с разбиением множества М на орбиты группы перестановок G возникают следующие два вопроса:

1) Сколько орбит имеет группа G на множестве М?

2) Какова длина каждой из этих орбит, то есть из скольких элементов они состоят?

Ответим на эти вопросы.

Ответим на второй вопрос. Для любого элемента аМ можно рассмотреть группу Ga всех перестановок из G, для которых точка а является неподвижной. Она называется стабилизатором точки а. Ответим на вопрос, доказав следующую теорему:

Длина орбиты О(а) равна индексу стабилизатора Ga в группе G, то есть |O(a)|= | G |:| Ga |.

Доказательство. Пусть G={ε=α0α1, …, αk-1}, Ga={ε=β0, β1, …, βs-1}. Для подсчёта различных элементов в последовательности a0(a), α1(a), …, αk-1(a) удобно особым образом расположить в ряд элементы группы G. Для этого используем тот факт, что группу G можно представить в виде объединения всевозможных непересекающихся правых классов смежности по подгруппе Ga, имеющих одинаковое число элементов. То есть существуют перестановки γ0=ε, γ1, …, γl-1 из группы G такие, что все перестановки ряда

Для любого i=0, …, l-1 применение s перестановок αis, αis+1, …, α(i+1)s-1, образующих i-тую строку таблицы (*), к элементу а даёт один и тот же элемент γi(а) (так как β0, β1, …, βs-1 оставляют а неподвижным). Все l элементов γi(а) попарно различны. Действительно, если бы γi(а)=γj(а) для некоторых ij, то а=(γj ° γi-1) (a), то есть перестановка j ° γi-1) Ga. Но это возможно только тогда, когда γi и γj содержатся в одном правом классе смежности группы G по подгруппе Ga, чего быть не может. Таким образом, длина орбиты О(а) равна l, то есть числу строк в таблице (*): k=ls (то есть l является индексом подгруппы в группе). По теореме Лагранжа l=| G |:| Ga |, то есть |O(a)|= | G |:| Ga |. Теорема доказана.

Доказательство теоремы Борсука. Пусть F – фигура диаметра d. Согласно доказательной лемме, фигура F содержится внутри правильного шестиугольника, расстояние между противоположными сторонами которого равно d. Покажем, что этот правильный шестиугольник можно разрезать на три части, каждая из которых имеет диаметр, меньший d. При этом фигура F также разрежется на три части, диаметр каждой из которых будет меньше d. Требуемое разбиение правильного шестиугольника на три части показано на рис. 9 (точки PQ и R являются серединами сторон, а О – центр шестиугольника). Чтобы убедится, что диаметры частей меньше d, достаточно заметить, что в треугольнике PQL угол Q прямой, и поэтому PQ < PL = dТаким образом, теорема доказана.

Из доказательства теоремы легко заключить, что всякая плоская фигура диаметра d может быть разбита на три части, диаметр каждой из которых не превосходит  (так как PQ= ) (рис. 9). Эта оценка диаметров частей является наилучшей, так как круг диаметра d нельзя разбить на три части, диаметр каждой из которых был бы меньше  (часть, имеющая диаметр меньше , высекает на окружности множество, расположенное на дуге, меньшей 120°, поэтому три такие части не покрывают всей окружности).


Можно предложить следующие расширения по данному вопросу: 

Теорема Борсука является стержнем этого вопроса, но она не даёт полного решения вопроса о том, чему равно a(F) для произвольной заданной фигуры F диаметра d. Она даёт лишь оценку a(Fсверху: a(F) ≤ 3. В то же время, очевидно, что a(F) ≥ 2 для любой фигуры. Возникает задача: для каких плоских фигур a(F равно двум и для каких оно равно трём.

Можно рассматривать задачу о покрытии выпуклых фигур гомотетичными (о наименьшем числе «уменьшенных копий» фигуры F, которыми можно покрыть всю фигуру F) и задачу о наименьшем числе направлений, освещающих всю границу фигуры F.

Все эти задачи можно рассмотреть для пространственных тел.

work3.rtf
2.475 Мб

Похожие работы


Реферат на тему "Урбанизация в Беларуси. 
Причины, особенности и последствия."
655 4
Бесплатно
Причины, особенности и последствия урбанизации в Белару...
Здравоохранение в социальной сфере
404 9
Бесплатно
Здравоохранение как элемент структуры социальной сферы
Реферат на тему лидерства женского пола в обществе
Феномен лидерства на протяжении веков волновал сознание многих исследователей. В начале двадцатого столетия началось изучение управления. Руководство и лидерство стали объектом исследования в 30 - 50 годах был предпринят ряд крупномасштабных исследований на системной основе,
364 25
Бесплатно
Барьеры в обществе против женского лидерства и его перс...
Реферат о важности документации
508 10
Бесплатно
Документ и его место в системе управления
Реферат об обществе как совокупности областей
Социальными называют те различия, которые порождены социальными факторами: разделением труда, укладом жизни, социальными ролями, которые выполняют отдельные индивиды или социальные группы.
571 33
Бесплатно
Социальная структура и ее элементы. Социальный интерес
Целью данной работы является анализ социологии как науки.
546 20
Бесплатно
социология - Социология как наука. Объект и предмет соц...