Кривые второго порядка - диплом по математике

. Определить зависимость типа кривой от параметра  с помощью инвариантов.

. Привести уравнение кривой при параметре  равном нулю к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситеты и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка при параметре  равном нулю.

. Построить кривую в канонической и общей системах координат.

Если хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.

Найдем коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка (1.1):

Далее, в зависимости от значений инвариантов, определим тип кривой (1.1) и рассмотрим по отдельности кривые различных типов, определяемые этим уравнением кривой второго порядка с параметром , пользуясь классификацией кривых второго порядка.

В зависимости от значения инварианта  принята следующая классификация кривых второго порядка.

Если  - кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.

Итак, мы привели общее уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду, то есть максимально его упростили. Далее, для того, чтобы иметь представление о форме данной поверхности, мы исследовали её методом сечений плоскостями , , , параллельными координатным плоскостям. В ходе исследования мы получили эллиптический цилиндр.