Процес навчання математиці з допомогою вивчення методів розв’язування математичних задач олімпіадного характеру - диплом по математике

Задачі, що пропонуються учасникам олімпіад різних рівнів, відрізняються від звичайних шкільних задач своєю специфікою, яка полягає в: нестандартному формулюванні їх умов; неочевидному результаті, який часто буває несподіваним; неспроможністю застосувати методи розв’язування, що вивчаються за програмою; специфічних підходах до переформулювання умови задачі в ході її розв’язування.

Мета даної дипломної роботи - описати деякі найбільш важливі методи розв’язування олімпіадних задач з математики та їх використання в навчальному процесі, зокрема метод математичної індукції та принцип Діріхле. Розв’язуванню задач за допомогою цих методів учні навчаються на факультативних заняттях та на заняттях математичних гуртків.

Одним з ефективних засобів перевірки рівня розвитку в учнів мислення є математичні олімпіади. Розв’язування задач олімпіадного характеру розвиває кмітливість, логічність, винахідливість й особливо гнучкість і критичність розуму.

Серед них задачі на принцип Діріхле, подільність та математичну індукцію займають одне з провідних місць. Розв’язання цих задач сприяє пробудженню інтересу до предмета, підвищує ініціативність, піднімає на більш вищий ступінь загальні якості розуму і волі. Як і більшість олімпіадних завдань математичні задачі, що використовують дані методи, потребують формування необхідних вмінь і навичок.

Об’єктом дослідження є процес навчання математиці з допомогою вивчення методів розв’язування математичних задач олімпіадного характеру.

Предмет дослідження - вивчення методу математичної індукції, застосування принципу Діріхле та використання ознак подільності натуральних чисел та їх застосування у процесі викладання математики в старшій школі.

Німецький математик П. Діріхле (1805-1859) сформулював принцип, який у жартівливій формі формулюється так: “Не можна помістити 10 кроликів у 9 кліток так, щоб в кожній клітці було по одному кролику”. А загальне формулювання цього принципу таке: “Якщо  предмет розкладено в  ящиків, то знайдеться принаймні два предмети, які лежать в одному ящику”.

Принцип Діріхле, не зважаючи на його надзвичайну простоту і очевидність, часто використовується при розв’язуванні задач і доведенні теорем у різних галузях математики. Розглянемо застосування принципу Діріхле до розв’язання задач з геометрії, теорії чисел та задач логічного характеру.

Починати вивчення принципу Діріхле на факультативних заняттях слід з найпростіших задач для того, щоб учні вміли добре орієнтуватися в умові задачі, тобто визначати, що в даній задачі виступає у ролі “кроликів”, а що у ролі “кліток”.

Приклад 21. 1800 учнів району виконували тест із 100 завдань. У Сидорова 31 неправильна відповідь. У інших учнів - менше. Доведіть, що знайдуться 59 учнів з однаковими результатами тестування.

Доведення.

В даній задачі в ролі “кроликів” виступають учні, а в ролі “кліток” - можлива кількість неправильних відповідей, даних кожним учнем. За умовою Сидоров дав найбільшу кількість неправильних відповідей, а саме 31, отже, інші учні дали 30, 29, 28,…,2,1,0 неправильних відповідей. Маємо 31 варіант кількості неправильних відповідей; це - “клітки” , в які треба “розсадити” 1800 учнів; це - “кролики”. Тоді за принципом Діріхле знайдуться принаймні 59 учнів, які отримали однакові результати тестування.

Приклад 22. У похід пішли 12 туристів. Наймолодшому з них 20 років, найстаршому - 30 років. Чи є серед них однолітки?

Розв’язання.

Виходячи з умови задачі, маємо, що вік туристів знаходиться в межах від 20 років до 30 років. Вік кожного з туристів може бути 20, 21,22,…,29,30 років, тобто є 11 варіантів кількості віку туристів (“кліток”), в які треба “розсадити” 12 туристів (“кроликів”). Отже, за принципом Діріхле знайдуться принаймні дві людини однакового віку.

Приклад 23. У лісі росте 800 000 ялинок. На кожній з них не більше 500 000 голочок. Довести, що хоча б дві ялинки мають однакову кількість голок.

Доведення.

На кожній ялинці може бути від 500 000 голок до 0, тобто маємо

001варіант кількості голок на одній ялинці; це - “клітки”. А в ролі “кроликів” візьмемо кількість ялинок, що ростуть у лісі. Якби ялинок було 500 001 штук, тоді усі ялинки мали б різну кількість голок, але це не так. Отже, за принципом Діріхле в лісі росте хоча б дві ялинки, які мають однакову кількість голок.

Приклад 24. Доведіть, що серед 25 учнів класу принаймні троє народилися в одному місяці.

Доведення.

Рік має 12 місяців. В ролі “кліток” візьмемо кількість місяців, а в ролі “кроликів” - кількість учнів. Нехай в класі немає трьох учнів, що народилися в одному місяці, тоді в кожну “клітку” попаде менше, ніж 3 учні. Тоді всього у 12 “клітках” було 24 учні. Це суперечить умові задачі. Отже, за принципом Діріхле принаймні троє учнів класу народилися в одному місяці.